"Géométrix", de David Acheson

La géométrie est, avec l’arithmétique, la branche la plus vieille des mathématiques. On en retrouve des traces sur des tablettes babyloniennes millénaires. Dès le IV^e siècle, le maître Euclide d’Alexandrie en fait une discipline classique avec ses Éléments, l’un des livres « les plus influents et les plus extraordinaires qui aient jamais été écrits », selon le mathématicien David Acheson, auteur de Géométrix. D'Euclide à Einstein, la magie d'une science surprenante (Flammarion, 2021). Dans ce livre, où les anecdotes historiques se mêlent aux démonstrations illustrées et ludiques, le Britannique nous initie à un langage métaphysique avec sa logique, ses représentations, son élégance en propre. 

• Un langage arbitraire… Dans son Cratyle, Platon se demande si les mots ont un rapport avec la réalité des choses nommées ou si le lien entre les mots et les choses est entièrement conventionnel. Deux millénaires et quelques plus tard, Ferdinand de Saussure, fondateur de l’approche structurale du langage, conclut que la propriété fondamentale du signe est son caractère arbitraire. La différence entre les langages verbaux le prouve ! Les mots et les concepts n’ont rien de réel et ne sont reliés aux choses du monde que de façon contingente. De la même manière, le langage géométrique n’a rien de réel. Chez Euclide, la droite a une épaisseur nulle (et donc invisible !). Et une infinité de droites peut passer par un point défini comme « ce dont la partie est nulle ». Au-delà de ces concepts imaginaires, l’espace euclidien n’existe même pas. En effet, depuis Einstein et sa théorie de la relativité générale, on sait que la masse courbe l’espace. Donc, contrairement au monde d’Euclide, l’espace réel n’est ni homogène ni isotrope. Même sur Terre, une droite n’est jamais parfaitement droite et la somme des angles d’un triangle ne fait jamais exactement 180°.
• … qui dit pourtant quelque chose du monde. La géométrie a donc ses concepts irréels : le point, la droite, le cercle, l’angle, etc. Et sa grammaire : les axiomes qui sont des propositions indémontrables comme « tous les angles droits sont égaux entre eux ». Avec quelques postulats et concepts, les géomètres ont déployé une cascade de théorèmes, un monde avec ses normes et son efficacité. Sans passer par la trigonométrie complexe, il est ainsi possible, en quelques tracés, de démontrer le théorème de Pythagore. C’est la fameuse proposition 47 d'Euclide (reproduite dans le livre), qui fit tomber le philosophe Thomas Hobbes fou amoureux de la géométrie. Mais bien plus que son élégance logique, la géométrie permet de décrire le monde réel avec finesse, de la réflexion optique aux calculs de la circonférence terrestre : à l’aide des triangles semblables et deux bâtons comme Ératosthène en 240 av. J.-C. ou grâce à la tangente et une petite montagne comme Al-Biruni en 1019. La géométrie, en procédant à l'abstractisation des choses dans des formes irréelles, permet donc de scénariser et de comprendre le monde. En d’autres termes, la géométrie est une métaphysique.
• Une métaphysique fertile. La géométrie n’est pas seulement un formalisme permettant de décrire le monde, elle est aussi un langage logique fertile pour l’esprit scientifique. Comme le postulait Saussure, la pensée se fait dans et par le langage. Toute pensée, qu’elle soit philosophique, poétique ou scientifique, est déterminée par le langage qui la rend possible. Hors des mots, point de salut ! Et avec Acheson, il nous faut reconnaître que nombre de grandes avancées scientifiques sont nées dans le terreau de la grammaire géométrique. La physique d’Archimède y a germé et la théorie de la gravitation universelle d’Isaac Newton n’aurait été possible sans un « un usage sophistiqué de théorèmes sur les sections coniques remontant à l’Antiquité ». Voilà donc bel hommage à cette discipline oubliée aussitôt que nous désertons les bancs de l’école. Et une belle occasion de ressortir les vieux rapporteurs et autres compas !

Géométrix. D'Euclide à Einstein, la magie d'une science surprenante, de David Acheson, à paraître le 19 mai 2021 aux éditions Flammarion. 288p., 21€, disponible ici.